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微分方程#xff0c;是指含有未知函数及其导数的关系式。解微分方程就是找出未知函数。 微分方程是伴随着微积分学一起发展起来的。微积分学的奠基人Newton和Leibniz的著作中都处理过与微分方程有关的问题。微分方程的应用十分广泛#xff0c;可以解决许多与导数… 1 微分方程
微分方程是指含有未知函数及其导数的关系式。解微分方程就是找出未知函数。 微分方程是伴随着微积分学一起发展起来的。微积分学的奠基人Newton和Leibniz的著作中都处理过与微分方程有关的问题。微分方程的应用十分广泛可以解决许多与导数有关的问题。物理中许多涉及变力的运动学、动力学问题如空气的阻力为速度函数的落体运动等问题很多可以用微分方程求解。此外微分方程在化学、工程学、经济学和人口统计等领域都有应用。 数学领域对微分方程的研究着重在几个不同的面向但大多数都是关心微分方程的解。只有少数简单的微分方程可以求得解析解。不过即使没有找到其解析解仍然可以确认其解的部分性质。在无法求得解析解时可以利用数值分析的方式利用电脑来找到其数值解。 动力系统理论强调对于微分方程系统的量化分析而许多数值方法可以计算微分方程的数值解且有一定的准确度。
2 数值解法
作为数值分析的基础内容常微分方程数值解法的研究已发展得相当成熟理论上也颇为完善各类有实用价值的算法已经建立并已形成计算机软件。它处理问题的思路与方法常可用于偏微分方程的数值求解。主要研究以下三类定解问题的数值解法初值问题、两点边值问题与特征值问题。初值问题的数值解法应用广泛是常微分方程数值解法的主要内容。在这方面有突出贡献的学者当推达赫奎斯特DahlquistG.、巴特赫尔ButcherJ.C.及吉尔GearC.W.等人。两点边值问题及特征值问题的研究相对较为薄弱其中凯勒尔KellerH.B.的工作影响较大。 Gear, C.William
3 源程序
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namespace Legalsoft.Truffer.Algorithm { /// summary /// 给定微分方程的一阶偏导方程 /// /summary /// param namex/param /// param namey/param /// returns/returns public delegate double SDE_Equation(double x, double y); /// summary /// 求解微分方程的吉尔四阶方法 /// C# program to implement Gills method /// /summary public static partial class Algorithm_Gallery { public static SDE_Equation dydx null; /// summary /// 求解微分方程的吉尔四阶方法 /// /summary /// param namex0起点x坐标/param /// param namey0起点y坐标/param /// param namex求值点x坐标/param /// param namestep步长/param /// returns/returns public static double SDE_Gill_Method(double x0, double y0, double x, double step) { int n (int)((x - x0) / step); double y y0; for (int i 1; i n; i) { double k1 step * dydx(x0, y); double k2 step * dydx(x0 0.5 * step, y 0.5 * k1); double k3 step * dydx(x0 0.5 * step, y 0.5 * (-1 Math.Sqrt(2)) * k1 k2 * (1 - 0.5 * Math.Sqrt(2))); double k4 step * dydx(x0 step, y - (0.5 * Math.Sqrt(2)) * k2 k3 * (1 0.5 * Math.Sqrt(2))); y y (1.0 / 6) * (k1 (2 - Math.Sqrt(2)) * k2 (2 Math.Sqrt(2)) * k3 k4); x0 x0 step; } return y; } } } 使用该方法的参考代码POWER BY 315SOFT.COM using Legalsoft.Truffer.Algorithm;
namespace Legalsoft.Drive { public partial class Form1 : Form { public double func(double x, double y) { return x/2 y*y; } private void button1_Click(object sender, EventArgs e) { Algorithm_Gallery.dydx func; MessageBox.Show(result Algorithm_Gallery.SDE_Gill_Method(0.0,0.0,0.5,30)); } } } 4 源代码
using System;
using System.Collections;
using System.Collections.Generic;namespace Legalsoft.Truffer.Algorithm
{/// summary/// 给定微分方程的一阶偏导方程/// /summary/// param namex/param/// param namey/param/// returns/returnspublic delegate double SDE_Equation(double x, double y);/// summary/// 求解微分方程的吉尔四阶方法/// C# program to implement Gills method/// /summarypublic static partial class Algorithm_Gallery{public static SDE_Equation dydx null;/// summary/// 求解微分方程的吉尔四阶方法/// /summary/// param namex0起点x坐标/param/// param namey0起点y坐标/param/// param namex求值点x坐标/param/// param namestep步长/param/// returns/returnspublic static double SDE_Gill_Method(double x0, double y0, double x, double step){int n (int)((x - x0) / step);double y y0;for (int i 1; i n; i){double k1 step * dydx(x0, y);double k2 step * dydx(x0 0.5 * step, y 0.5 * k1);double k3 step * dydx(x0 0.5 * step, y 0.5 * (-1 Math.Sqrt(2)) * k1 k2 * (1 - 0.5 * Math.Sqrt(2)));double k4 step * dydx(x0 step, y - (0.5 * Math.Sqrt(2)) * k2 k3 * (1 0.5 * Math.Sqrt(2)));y y (1.0 / 6) * (k1 (2 - Math.Sqrt(2)) * k2 (2 Math.Sqrt(2)) * k3 k4);x0 x0 step;}return y;}}
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