上海市嘉定建设局网站,青岛网站建设和推广,做网站必须用tomcat,游戏开发巨头中文版下载在文章拉格朗日插值多项式的原理介绍及其应用中#xff0c;笔者介绍了如何使用拉格朗日插值多项式来拟合任意数据点集。 事实上#xff0c;插值多项式会更倾向于某些形状。德国数学家卡尔龙格Carl Runge发现#xff0c;插值多项式在差值区间的端点附近会发生扭动#x… 在文章拉格朗日插值多项式的原理介绍及其应用中笔者介绍了如何使用拉格朗日插值多项式来拟合任意数据点集。 事实上插值多项式会更倾向于某些形状。德国数学家卡尔·龙格Carl Runge发现插值多项式在差值区间的端点附近会发生扭动且波动较大。这就是数值分析中著名的龙格现象Runge Phenomenon。 本文以函数f(x)1112x2f(x)\frac{1}{112x^{2}}f(x)112x21和区间[-1,1]为例在该区间上平均取n个点包括端点在函数图像上得到n个样本点对这些样本点使用拉格朗日插值多项式并绘制该插值多项式的图像观察其在端点附近的表现。 Python实现程序如下
# -*- coding: utf-8 -*-
# Time : 2023/3/8 18:55
# Author : Jclian91
# File : runge_phenomenon.py
# Place : Xuhui, Shanghai
import matplotlib.pyplot as plt# sample function
# 函数f(x)1/(112*x**2)
def sample_func(x):return 1 / (1 12 * x ** 2)# get sample points from sample function with interval [-1, 1]
def get_sample_points(n):# n: number of sample pointsstep 2 / (n-1)x_values [-1 i * step for i in range(n)]y_values [sample_func(x) for x in x_values]return x_values, y_values# get basic lagrange polynomial unit
def get_lagrange_polynomial_unit(x_values, k, x):# x_values: values of x in list x_values# k: kth lagrange polynomial unit# x: variable in kth lagrange polynomial unitpoly_unit 1for i in range(len(x_values)):if i ! k:poly_unit * (x-x_values[i])/(x_values[k]-x_values[i])return poly_unit# get lagrange polynomial
def get_lagrange_polynomial(x_values, y_values, x):poly 0for i, y in enumerate(y_values):poly y * get_lagrange_polynomial_unit(x_values, i, x)return poly# plot curves with matplotlib
def plot_function(n):# plot lagrange polynomial with n sample points from sample functionsample_x_values, sample_y_values get_sample_points(n)sample_points_number 500x_list [-1 i * 2 / (sample_points_number-1) for i in range(sample_points_number)]original_y_list [sample_func(x) for x in x_list]y_list [get_lagrange_polynomial(sample_x_values, sample_y_values, x)for x in x_list]plt.plot(x_list, original_y_list, labelf(x)1/(112*x**2))plt.plot(x_list, y_list, labellagrange polynomial)plt.title(fRunge phenomenon with {n} basic points in function f(x)1/(112*x**2))plt.legend()# plt.show()plt.savefig(f{n}_basic_points.png)if __name__ __main__:n_points 5plot_function(n_points)当n5时拉格朗日插值多项式的图像如下 当n15拉格朗日插值多项式的图像如下 当n25时拉格朗日插值多项式的图像如下 当n35时拉格朗日插值多项式的图像如下 当n45时拉格朗日插值多项式的图像如下 通过上述程序的模拟结果我们可以发现该插值多项式在区间端点附近会发生扭动当n越大扭动的幅度就越大这是用计算机程序对龙格现象的一个模拟。
