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一. 写在前面
二. 最小值点
三. 二次型结构
四. 正定与非正定讨论
4.1 对参数a的要求
4.2 对参数c的要求
4.3 对参数b的要求
五. 最小值#xff0c;最大值与奇异值
5.1 正定型#xff08;positive definite#xff09;
5.2 负定型#xff08;negative defin…目录
一. 写在前面
二. 最小值点
三. 二次型结构
四. 正定与非正定讨论
4.1 对参数a的要求
4.2 对参数c的要求
4.3 对参数b的要求
五. 最小值最大值与奇异值
5.1 正定型positive definite
5.2 负定型negative definite
5.3 奇异型
六. 鞍点saddle point
七. 矩阵二次型
7.1 介绍
7.2 举例
例题1
例题2
例题3
八. 正定矩阵与格密码 一. 写在前面
格密码中有时要求格基矩阵是正定的本文章将从方程和矩阵角度来解释正定性辅助格密码的理解。
推荐可以先看下这篇文章
格密码与线性代数-CSDN博客
对称矩阵一定有实数特征值real eigenvalue,本文章尝试在不计算矩阵特征值的情况下快速判断矩阵特征值是否全为正数其中涉及三个矩阵的基本概念矩阵的主元pivot行列式特征值。 二. 最小值点
在微分方程中如果特征值为负数那么以下函数单调递减 在密码学或计算机领域的优化问题optimization经常需要判断N维情况下的最小值数学知识告诉我们这与二阶导second derivative test相关举两个例子 尝试求这两个二维函数的最小值。
首先可计算 很明显最小值肯定要求一阶导数为0也就是所谓的关注linear term发现0,0该点符合要求如下 也就是0,0为这两个函数的极值点stationary point。
第一个平面zF(x,y)与水平面z7相切
第二个平面zf(x,y)与水平面z0相切
一阶导分析完毕来看下在0,0位置的二阶导如下 这两个二维函数的二阶导值一样说明两个函数的性质相同。实际上F(x,y)的最高次幂为所以其最小值为接下来我们把重心放在f(x,y)。 三. 二次型结构
以上讨论中f(x,y的形式为二次型 易得在0,0处该类函数的一阶微分 也就是该类二次型原点一定是其极值点。
如果极小值点local minimum也是最小值点global minimum那么可得此类平面的图形像一个碗碗的底部就是原点如下图 如果极值点不在原点处而在其他任意点处比如在其二阶导如下 除了原点外如果函数严格为正数那么称之为正定positive definite。 四. 正定与非正定讨论
对于单变量的函数来讲二阶大于0函数拥有最小值如下 反之则函数有最大值。
对于二维函数来讲函数拥有三个二阶导函数 期待利用这三个数来判断函数拥有最小值还是最大值。
目标什么情况下二次型为正定的 4.1 对参数a的要求
当x1,y0时可得 正定性要求a为正数利用导数的观点解释则是 也就是该曲面沿着x轴向上弯曲。 4.2 对参数c的要求
当x0时沿着y轴方向可得 很明显正定性要求c0
举两个简单例子大家可以快速判断下
例1 例2 解
例1非正定因为
例2非正定因为 4.3 对参数b的要求
将二次型结构转变为如下完全平方差形式 观察右边第二项要想函数正定则必须 也就是 五. 最小值最大值与奇异值
5.1 正定型positive definite
根据以上讨论要想二次型为正定需要满足 如果要求某点处的最小值那么 并且要求 5.2 负定型negative definite
负定型的要求与正定型刚好相反如下 由此可求该函数的最大值 5.3 奇异型
当a,b,c满足 易得当a0时该函数为半正定positive semi-definite
当a0时该函数为半负定negative semi-definite
也就是当xb,y-a时该函数可以取0。原始的平面zf(x,y)像一个碗奇异情况下像一个山谷举例 六. 鞍点saddle point
鞍点要求 举例两个函数 来看一个图像 这种二次型既可以取正数也可以取负数所以为非定型indifinite。从图形上看此时的极值点既不是最小值也不是最大值该点则被称之为鞍点saddle point。 七. 矩阵二次型
7.1 介绍
总结以上我们发现二阶导数其实可以形成一个对称矩阵。将和放在对角线将2bxy分成一半放在剩下的两个位置上由此二次型函数f(x,y)即可以表示成一个2行2列的矩阵如下 将此处的2维扩展到n维便可以从矩阵的角度来理解函数的最大值与最小值。假定有n个变量将其写成列向量x的形式那么对任意对称矩阵A矩阵向量相乘与二次型之间是互相等效的如下 更具体来讲如下 对角线的元素与相乘。对称形式合并后再相乘可得即可以还原函数为 注意每一项都是二次型当时函数的一阶导函数一定为0.该函数的切面是水平的也就是其极值点。、
借助此理论即可判断当向量x为0时函数存在最大值最小值还是鞍点。
7.2 举例
例题1
函数其对应矩阵如下 很明显为鞍点 例题2
函数f2xy其对应矩阵 很明显鞍点 例题3
给定函数如下 该函数拥有最小值写成矩阵格式如下 其实矩阵A可以看成二阶导的矩阵也就是满足 同理可得 从这个角度也可以理解矩阵A为对称矩阵很明显当原函数存在最小值时矩阵A则为正定的。 八. 正定矩阵与格密码
正定矩阵与特征值有关格基特征值的大小会影响格密码中光滑参数的大小从而影响安全性。具体这方面的知识会陆续更新。
